うーん。
基本的に、iPhoneの画面キャプチャを録画するアプリは脱獄しないと駄目なようですね。
xRecとかいうアプリはiOS7では駄目そうですし

それでもなんとか出来ないかぐぐってみると
Reflectorというツールが出てくるのですが、、、

録画は出来るのですが、
２０秒ぐらいで落ちる。。。

10分は使えるとか書いてあったのに、、、

考えられる原因
1.うちのMacの性能が悪い
2.なにかチェックをいれないといけない
3.英語が読めない

この三点、、、、

もっと別のアプリをさがしてみます。